Faire courir plusieurs matériaux de film sur la même piste — même substrat, même motif de fentes — pour voir, chrono en main, lequel évacue la chaleur le plus vite. Ce guide explique le principe, ce que l'outil suppose, et comment lire ses résultats sans être thermicien.
On a plusieurs candidats possibles pour un film conducteur — Ginestium™, graphène CVD, diamant CVD — et une question simple : lequel étale le mieux la chaleur, en pratique, sur ce substrat et ce motif de gravure ? L'outil place un bord de la plaque à température fixe et regarde, pour chaque matériau pris séparément, à quelle vitesse et à quelle intensité la chaleur progresse vers l'autre bord.
Les matériaux sont comparés à armes rigoureusement égales : même substrat, même motif de fentes, mêmes conditions thermiques — seul le film change.
Le simulateur d'anisotropie thermique (l'outil compagnon) répond à « quelle est la conductivité effective de ce motif ? » en régime établi. Celui-ci répond à une question différente et plus concrète : « en partant d'une source de chaleur à un instant donné, combien de temps avant qu'un capteur situé à telle distance ne sente la différence ? » — utile pour comparer des matériaux entre eux sur un scénario réaliste de propagation.
C'est aussi, très directement, un outil de due diligence : chaque valeur par défaut est sourcée (voir §07), pour qu'une comparaison puisse être défendue devant un partenaire technique plutôt que citée de mémoire.
C'est enfin le seul des trois outils thermiques à porter un axe du temps — et donc le seul où la capacité calorifique des matériaux intervient. Ce point, souvent source de questions, est traité au nota bene (§10).
Le scénario est volontairement simple : une plaque de 50 × 50 mm, un bord gauche porté à température fixe (120 °C par défaut), et le reste de la plaque qui se réchauffe progressivement à mesure que la chaleur s'infiltre vers la droite. On place un « capteur » virtuel à une distance choisie du bord et on regarde sa température monter avec le temps.
Cette progression se calcule directement par une formule fermée (aucune simulation pas-à-pas nécessaire), à condition de connaître un seul nombre-clé par matériau : sa diffusivité effective, notée αeff — à quelle vitesse la chaleur s'y propage, en tenant compte à la fois de sa conductivité et de sa capacité à stocker de la chaleur.
Le film comparé peut avoir une conductivité spectaculaire — mais il ne fait que quelques centaines de nanomètres d'épaisseur, contre des dizaines à des milliers de micromètres pour le substrat en dessous. La diffusivité effective du système est une moyenne pondérée par l'épaisseur des deux : plus le film est fin comparé au substrat, plus le résultat final ressemble aux propriétés du substrat, quelle que soit la performance du film.
C'est pour cette raison que l'outil affiche aussi le k·t (conductivité × épaisseur, en x) de chaque film : c'est la vraie figure de mérite d'un film qui doit étaler la chaleur latéralement — un matériau très conducteur mais trop fin peut être battu par un matériau moins conducteur mais plus épais.
Le motif de fentes (même géométrie que le simulateur d'anisotropie) est homogénéisé par le même moteur de calcul — un design qui favorise x reste plus rapide ici aussi, mais l'effet se voit comme un écart de vitesse de propagation plutôt que comme un rapport k_xx/k_yy. Ce qui est propre à cet outil : la formule de propagation dans le temps, la capacité calorifique qui l'alimente, et le fait de pouvoir comparer jusqu'à 4 matériaux côte à côte sur des cartes de diffusion à la même échelle physique.
Le bord gauche est supposé à température uniforme sur toute sa hauteur : la chaleur avance donc de la même façon quel que soit l'endroit de la plaque qu'on regarde (pas d'effet de bord haut/bas). C'est ce qui permet un calcul par formule fermée, sans simulation pas-à-pas.
La plaque est traitée comme s'étendant indéfiniment vers la droite : ni bord droit adiabatique, ni pertes par convection ou rayonnement. Valable tant que le front n'a pas atteint le bord opposé — au-delà, la formule sous-estime l'échauffement réel.
Film et substrat sont supposés à la même température locale en chaque point x : le modèle ne suit pas séparément l'échauffement du film et celui du substrat, ni le retard de l'un sur l'autre. C'est l'hypothèse dite de plaque équivalente, directement liée au traitement des interfaces (voir §10).
La résistance d'interface (film/substrat) est calculée et affichée dans les grandeurs hors-plan, mais elle n'entre pas dans le calcul du front de propagation latéral — un choix de modèle assumé, identique à la référence dont cet outil s'inspire. Détail et justification au §10.
Dans les zones évidées par les fentes (air, vide, aérogel…), la capacité thermique est considérée comme négligeable : seule la fraction de film réellement solide compte dans le calcul de la diffusivité effective.
Densité, capacité thermique et conductivité sont prises à température ambiante et ne varient pas avec la température au cours du transitoire, alors même que la plaque passe de 20 à 120 °C dans le scénario par défaut.
Pour un matériau du catalogue, l'épaisseur et la conductivité dans le plan sont librement modifiables ; la conductivité hors-plan, le CTE, le libre parcours moyen des phonons, la densité et la capacité thermique restent ceux du catalogue.
Chaque matériau du catalogue affiche, sous ses champs d'épaisseur et de conductivité, une ligne « Plage litt. » indiquant une fourchette basse–haute issue de mesures publiées. Un survol de la souris affiche la justification complète (mesures citées, hypothèses, unités) — dans la langue active de l'interface.
Trois matériaux, trois statuts :
Pour le diamant et le graphène, les valeurs par défaut sont désormais celles de films minces réels (nanocristallins pour le diamant, few-layer supportés pour le graphène) — pas celles d'un cristal massif ou d'une monocouche suspendue en laboratoire, des cas bien plus favorables que la réalité d'un film déposé. Pour Ginestium™, en l'absence de mesure publiée, la valeur centrale est cadrée par analogie avec des carbones graphitiques comparables ; la borne haute de la plage reste le meilleur cas mesuré en interne, pas la moyenne à retenir par défaut.
Attention : le statut « littérature » ne couvre pas forcément toutes les propriétés d'un matériau. Pour le Ginestium™ en particulier, la densité et la capacité thermique sont des valeurs de substitution, et non des mesures — le détail est au nota bene (§10).
Résumé (CSV) — tableau récapitulatif des résultats de la dernière comparaison lancée, prêt pour un tableur.
Paramètres (JSON) — tous les réglages de l'outil (matériaux, motif, substrat, conditions thermiques), pas les résultats. Se réimporte à l'identique, pratique pour figer une configuration de référence et la faire circuler.
Cette section est la référence technique du guide : elle décrit les formules réellement exécutées par le moteur serveur et justifie chaque choix de modèle. Elle n'est pas nécessaire pour se servir de l'outil.
Avant toute question de temps, le motif de fentes est homogénéisé exactement comme dans le simulateur d'anisotropie thermique, avec le même module serveur et les mêmes formules — donc les mêmes nombres qu'en pilotant ce simulateur à la main avec ce matériau. La chaîne est la suivante :
Le détail et la justification de ces six étapes figurent au §09 du guide du simulateur d'anisotropie thermique. Ce qui suit est propre à cet outil.
Une capacité thermique volumique est une quantité extensive : deux matériaux accolés stockent la somme de ce que chacun stocke. La moyenne pondérée par les épaisseurs est donc la bonne combinaison, et c'est exactement la même structure que celle utilisée pour K_xx — numérateur et dénominateur portent ainsi sur le même objet, ce qui est indispensable pour que leur quotient à l'étape 3 ait un sens.
Le facteur (1 − ψ) traduit une hypothèse explicite : le milieu qui remplit les fentes (air, vide, aérogel) ne stocke rien d'utile à ces échelles. Seule la matière solide restante compte.
C'est la définition même de la diffusivité thermique : α = k/(ρ·c_p). Elle mesure la compétition entre la capacité d'un matériau à transporter la chaleur (au numérateur) et sa capacité à la stocker en chemin (au dénominateur). Un matériau qui stocke beaucoup ralentit la progression du front même s'il conduit bien — c'est précisément l'information que la seule conductivité ne donne pas, et ce pour quoi cet outil existe.
K_xx est retenu, et non k_xx du film seul : c'est la plaque entière, film plus substrat, qui conduit la chaleur vers la droite.
La source étant uniforme sur toute la hauteur du bord gauche, le problème n'a plus qu'une variable d'espace. Il se ramène à l'équation de la chaleur à une dimension :
Ce problème admet une solution exacte, obtenue par la variable de similitude η = x / (2√(α·t)) :
C'est l'un des rares problèmes de conduction transitoire à posséder une solution analytique exacte, et l'hypothèse de source uniforme est précisément ce qui y donne accès. Les conséquences sont concrètes : pas de pas de temps, donc pas de condition de stabilité à respecter ni d'erreur numérique qui s'accumule ; le résultat à 3 heures coûte exactement le même calcul que le résultat à 3 secondes ; et les quatre matériaux se calculent en quelques microsecondes. La fonction erfc est celle de la bibliothèque standard, ce qui élimine aussi l'erreur d'approximation polynomiale qu'une implémentation en JavaScript aurait dû accepter.
Une remarque de lecture : la solution ne dépend de x et t que par le groupement x/√(α·t). Deux matériaux dont les diffusivités diffèrent d'un facteur 4 donnent le même profil, l'un simplement deux fois plus tôt que l'autre. C'est ce qui rend α_eff directement comparable d'un matériau à l'autre.
Le « délai à 10 % » et le « délai à 50 % » sont l'inverse de (4) : on fixe la fraction atteinte, on cherche le temps.
Il n'existe pas de fonction inverse d'erfc dans la bibliothèque standard : z est obtenu par dichotomie sur [0 ; 8], en 80 itérations — erfc étant strictement décroissante, la dichotomie est exacte à la précision machine bien avant la 80ᵉ.
Le délai varie comme x², pas comme x. Doubler la distance du capteur ne double pas le temps d'arrivée : il le quadruple. C'est la signature de tout phénomène diffusif, et c'est ce qui explique qu'un excellent étaleur de chaleur puisse rester inefficace au-delà de quelques millimètres.
Cette grandeur n'entre pas dans le modèle transitoire : elle est calculée à part, comme indicateur. C'est elle qui décide si un film pèse quelque chose au niveau système, indépendamment du scénario de propagation — le système moyennant film et substrat au prorata des épaisseurs, un film dont le k·t est très inférieur à celui du substrat est dilué jusqu'à l'invisibilité, si haute que soit sa conductivité.
La carte de diffusion, enfin, échantillonne (4) en 41 points sur les 50 mm de la plaque, normalisés entre 0 et 1. Toutes les lignes de la carte sont identiques : ce n'est pas une simplification d'affichage, c'est ce que la solution prédit réellement pour une source uniforme.
Deux questions reviennent régulièrement au sujet des matériaux déposés : où intervient leur capacité calorifique, et que fait-on des résistances thermiques d'interface. Réponses en clair, avec les hypothèses effectivement retenues dans les trois outils thermiques.
C'est le régime qui décide. En régime permanent, la capacité calorifique n'a aucun effet : une fois le champ de température stabilisé, seule la conductivité fixe la répartition de la chaleur. En régime transitoire, au contraire, c'est elle qui, avec la conductivité, fixe la diffusivité thermique α = k/(ρ·c_p) et donc la vitesse d'évolution de la température.
Les trois outils se répartissent donc ainsi :
| Outil | Régime | ρ·c_p du film |
|---|---|---|
| Comparateur de diffusion thermique | transitoire | intervient explicitement |
| Simulateur d'anisotropie thermique | permanent | n'intervient pas |
| Balayage paramétrique | permanent | n'intervient pas |
Pour les deux outils en régime permanent, ce n'est ni un oubli ni une intégration implicite : ils résolvent une équation — ∇·(k∇T) = 0 — où ρ·c_p n'apparaît pas, et ne portent d'ailleurs pas ces champs dans leurs paramètres. Le catalogue matériaux est commun aux trois outils et renseigne bien ρ et c_p, mais seul cet outil-ci les consomme.
Ici, la capacité entre par la diffusivité effective — ce sont les équations (1) et (2) du §09, rappelées ensemble :
Deux hypothèses explicites y sont faites sur les couches déposées. D'abord, la fraction ablatée du film ne stocke rien : le milieu de fente (air, vide, aérogel) est considéré sans capacité utile à ces échelles, d'où le facteur (1 − ψ). Ensuite, ρ et c_p sont pris à 300 K et constants — aucune dépendance en température n'est modélisée, alors même que le scénario par défaut fait passer la plaque de 20 à 120 °C.
Les valeurs proviennent du catalogue serveur partagé :
| Matériau | ρ (kg/m³) | c_p (J/kg·K) | Statut de la donnée |
|---|---|---|---|
| Ginestium™ | 2 100 | 710 | substitut — carbone pyrolytique synthétique orienté à 300 K ; pas une mesure Ginestium™ |
| Graphène CVD few-layer | 2 200 | 700 | littérature |
| Diamant CVD nanocristallin | 3 400 | 536 | mesuré sur film NCD à 302 K |
| Cuivre (témoin) | 8 960 | 385 | littérature, cuivre massif |
| Substrat | saisi par l'utilisateur (défauts 3 900 / 880) | — | |
Un matériau « personnalisé » n'a ni ρ ni c_p : dans ce cas l'outil renvoie explicitement « pas de diffusivité » et n'affiche ni carte, ni délai, plutôt que de deviner une valeur.
La pondération par les épaisseurs écrase la contribution du film. Avec les réglages par défaut — Ginestium™ 400 nm sur 10 µm de substrat — le film ne pèse que ≈ 1,6 % de (ρc)_sys ; portez le substrat à 2 mm et sa part tombe sous 0,01 %. La diffusivité effective est donc, en pratique, « la conductivité latérale du système divisée par la capacité du substrat ».
Conséquence directe pour l'interprétation : le front est très peu sensible au c_p du film. Non pas parce qu'on le néglige — il est bien dans la formule — mais parce que la géométrie de l'empilement lui laisse peu de poids. Le film pèse par son k·t, au numérateur, bien plus que par sa capacité au dénominateur. En corollaire, les valeurs de ρ et c_p que vous saisissez pour le substrat méritent, elles, une attention réelle : ce sont elles qui pilotent la vitesse du front.
Elles ne sont pas ignorées, mais leur prise en compte est partielle et hors-plan uniquement.
Ce qui existe. Le curseur R_th interface de cet outil (0 à 100 ×10⁻⁶ m²·K/W, 10 par défaut ; même paramètre dans le simulateur d'anisotropie) entre en série dans la résistance hors-plan :
Il s'agit d'une seule interface globale film / substrat. Le modèle géométrique ne comporte que deux couches : il n'y a ni empilement multicouche avec une résistance par interface, ni résistance latérale entre grains ou entre motifs.
Un ordre de grandeur utile : pour le graphène (k_z = 6 W/m·K sur 1,675 nm), le terme de film vaut ≈ 3×10⁻¹⁰ m²·K/W, cinq ordres de grandeur sous la résistance d'interface typique. Dans R_z, ce sont toujours l'interface et le substrat qui dominent, jamais le film.
Ce qui est négligé, et c'est une hypothèse assumée. R_th,if n'entre ni dans l'homogénéisation k_xx/k_yy, ni dans K_xx, ni donc dans α_eff — le front de diffusion latéral l'ignore complètement. L'outil le dit d'ailleurs explicitement sous le curseur concerné, plutôt que de laisser croire que le réglage agit sur les cartes. Le balayage paramétrique, lui, ne porte aucune résistance d'interface : c'est un outil purement dans le plan du film.
Pour un transport latéral, la résistance d'interface n'est pas une résistance en série sur le chemin de la chaleur : c'est un couplage entre deux chemins parallèles, le film et le substrat. La négliger revient exactement à supposer un couplage parfait selon z — film et substrat à la même température locale à chaque abscisse. C'est l'hypothèse de plaque équivalente déjà signalée au §03, et elle est indissociable de la forme même du modèle : (4) ne décrit qu'une température T(x, t), pas une pour le film et une pour le substrat.
Le régime où elle casse est identifiable : temps courts, ou film très conducteur sur substrat peu conducteur. Le film y prendrait de l'avance sur le substrat au lieu de le tirer avec lui, et le capteur verrait arriver la chaleur plus tôt que ce que prédit le modèle — un effet que celui-ci ne peut structurellement pas représenter. Pour les épaisseurs et les durées d'observation visées ici, l'approximation reste raisonnable ; c'est néanmoins une hypothèse, pas une conséquence.